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Vecteurs

Commençons sagement...

Définition d'un vecteur

En physique, un vecteur est la représentation d'une grandeur (p. ex. la force, la vitesse, l'accélération, le champ électrique, magnétique...) au moyen d'une flèche un peu particulière. En effet, cette flèche qui représente un vecteur, possède ces caractéristiques:

  1. Une direction ou une ligne d'action sur laquelle on la dessine.
  2. Un sens: la flèche pointe dans un sens ou de l'autre sur la ligne d'action. Achtung: ne pas confondre direction et sens. Direction Genève <-> Berne, mais sens Genève -> Berne ou Berne -> Genève.
  3. Une intensité: plus elle sera grande plus la flèche sera longue.
  4. Un point d'application: d'où part la flèche sur sa ligne d'action, où est-elle accrochée?

Principales différences entre un nombre et un vecteur: le nombre n'a ni sens, ni direction, ni point d'application; le vecteur, si !

 

Translation d'un vecteur

Quand on a dessiné un vecteur, on peut le déplacer de la façon suivante, sans changer ses caractéristiques (sauf son point d'application):

Observez que nous n'avons changé ni son intensité (longueur), ni sa direction, ni son sens. Par contre, son point d'application a changé. En effet, le vecteur part chaque fois d'un autre endroit. Pour l'instant, géométriquement cela n'a pas pas d'importance. Donc on considère ces 4 vecteurs tous égaux. Vous voyez 4 vecteurs? Moi j'en vois qu'un seul qui a été translaté à 3 autres endroits.

La force représentée par un vecteur

A présent, utilisons le vecteur dans le domaine de la physique, par exemple pour représenter une force qui agit sur un corps. Exemple: une brique est tirée à droite par une corde. Vous allez me dire: "Bravo pour l'originalité ... quoi de plus moche qu'une brique et un bout de ficelle!"

La flèche représente le vecteur force qui a son point d'application sur une face de la brique. Regardons cela de profil et plus en détail. Entre temps, la force a changé de sens mais pas de direction: elle tire à présent la brique à gauche. Bon, nous nous débarrasserons bientôt de cet objet capricieux et anti-ludique.

La lettre F avec au-dessus une petite flèche signifie: vecteur force. Mais quelle est au juste une force? C'est une grandeur physique qui est nécessaire pour mettre en mouvement un corps ou le déformer, l'arrêter, ou encore modifier sa trajectoire. L'unité de la force est le Newton (N). Si une force vaut par exemple 4 N (nous verrons plus loin la signification de cette valeur) alors pour représenter le vecteur sur votre feuille, vous devrez le dessiner à l'échelle. Ci-dessus, j'ai représenté une force d'environ 4 N. Combien de cm mesure-t-elle sur votre écran? Trouver votre échelle.

 

Les points d'application possibles

On peut translater la force F le long de la ficelle, et même à l'intérieur de la brique. Physiquement cela ne change rien car ce système ficelle-brique est solidaire et sur la même droite d'action. L'effet sera le même: faire glisser cette brique hors de la page. Naturellement, ce n'est pas très pratique d'accrocher une ficelle à l'intérieur d'une brique ! (cf. force dans le rectangle bleu).

 

 

Addition de vecteurs

La brique va-t-elle enfin glisser ? Non, elle ne bouge pas. La longueur du vecteur montre que l'intensité de la force n'est pas suffisant pour déplacer la brique. Bon alors, accrochons une deuxième ficelle et tirons aussi avec celle-ci, mais encore plus fort, avec F2= 6 N environ. Vue d'en haut:

Ca y est ! La brique se déplace vers la gauche:

Stop! On est pas très malin. Au lieu d'utiliser deux forces, pourquoi ne pas utiliser une seule F3 telle que F3 = F1 + F2 ? On ferra des économies de bouts de ficelle ! Pour ce faire, nous avons deux méthodes pour additionner les vecteurs:

1. La méthode du Parallèlogramme :

La force résultante F3 en vert, s'obtient en traçant un parallèlogramme avec F1 et F2, puis, en traçant la diagonale. Attention de bien respecter le parallèlisme des deux pairs de côté. La longueur de F3 représente l'intensité de sa force. Comment calculer l'intensité de cette force résultante? Il suffit de tracer à l'échelle les deux forces F1 et F2, de dessiner le parallèlogramme, la résultante, puis, de mesurer sa longueur, et enfin, de convertir les cm en Newton, selon votre échelle.

Faites un truc idiot, qu'on rigole: prenez une règle et mesurez en cm sur votre écran la longueur F1. Sur votre smartphone vous n'allez pas rigoler ! F1 vaut 4 N. A combien de cm cela correspond-il chez vous ? Dès que vous aurez votre échelle, déduisez F3 (de mon côté de l'écran F3 = 8 N).

 

2. La méthode Bout-à-bout :

Premier dessin: F2 est translaté au bout de F1, puis, on tire la résultante F3 de l'origine des vecteurs jusqu'au bout de F2 translaté. Deuxième dessin équivalent: c'est F1 qu'on translate au bout de F2, puis, même principe, on tire la résultante F3 de l'origine des vecteurs jusqu'au bout de F1 translaté.

 

Mais la brique est toujours là, et commence à nous peser. Pour être sûr de la catapulter dans le décors, ajoutons encore une troisième force, et par soucis d'économie, tirons avec une unique force qui est la résultante de F1 + F2 + F3 = F123 (c'est la force résultante de 1+2+3). Comment dessiner F123? Si l'on adopte la méthode Parallèlogramme, il faudra dessiner un premier parallèlogramme avec F1 + F2, trouver sa diagonale = F12, puis, tracer un deuxième parallèlogramme: F12 + F3 = F123. Bref, bonjour les complications....Sachant que vous vous respectez en tant que paresseux, je vous propose d'utiliser dans ce cas la méthode Bout-à-bout. F2 est translaté au bout de F1, puis, F3 est translaté au bout de F2. Résultante F123 en vert. Naturellement, on peut changer l'ordre de la succession des forces, cela ne change rien à la résultante F123.

 

Animation sympa sur l'addition des vecteurs: walter-fendt.de/ph14f/resultant_f.htm ce qui est moins sympa c'est vous devrez probablement télécharger un plug-in !

Et c'est parti ! Une courte et brutale traction sur la ficelle verte, et on fait voltiger la brique dans les airs avec une force résultante de 11 N. Exit la brique! Attention: changement d'échelle:

Ooopp! Qu'est-ce que c'est que ce vecteur rouge? Le vecteur vert est la force de traction de la ficelle qui cesse dès que la brique décolle...mais le rouge? Ah oui, j'oubliais: la vitesse est aussi un vecteur. La vitesse décroit d'instant en instant. Ainsi, le vecteur vitesse représenté en rouge est tangent à la trajectoire de la brique (ligne courbe) et sa longueur (son intensité) diminue.

Prenons un autre exemple qu'une brique moche...quelque chose qui a plus de gueule:


Ref.

Trouvez la direction et l'intensité de la force résultante....sans approcher votre main!

Supposons que le mâle tire avec une force de F1=1'000 N, et la femelle F2= 2'000 N. Vous les distinguez ? Par contre, le Droïde-chien tracte avec force effroyable de F3=5'000 N ! (sales bêtes ces mécaniques). Supposons en outre que nous connaissions les angles. Résolution synthétique du problème: vue d'en haut + ancrer les 3 forces sur un seul point d'application + représentation à l'échelle (2cm : 1000 N environ) + méthode Bout-à-bout = la résultante en vert F123:

Subtilité: nous avons rassemblé les 3 forces sur un seul point d'application, par translation. Conclusion: ces trois chiens vont se déplacer selon la direction du vecteur vert, et la force résultante vaudra environ F123 = 2000 N (il suffit de mesurer la longueur et de tenir compte de l'échelle).

Autre exemple: une péniche est remorquée par 2 bateaux, force u et v. Trouvez la résultante.
On peut dessiner le vecteur force de chaque bateau le long de sa corde, mais pour dessiner le parallèlogramme, il nous faut les rassembler sur le même point d'application, par exemple, à la proue de la péniche. En fait, si la résolution est purement géométrique, à savoir trouver la résultante, on peut dessiner le parallèlogramme n'importe où dans la nature. Par contre, sitôt qu'on veut comprendre le phénomène physique, il faut accrocher cette résultante sur un point d'application réaliste, en l'occurence, là où partent les deux cordes, la proue.

 

Niveau Pro:

 

Avion:
A cause du vent, la trajectoire effective ne suit pas la route prévue.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 


Soustraction de vecteurs: même principe

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 


Dans un carrousel, plus on est loin du centre, plus notre vitesse est élevée

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 


Les vecteurs rouge ont une coordonnées sur Oy positive
Les vecteurs bleus ont une coordonnée sur Oy négative
Les vecteurs oranges ont une coordonnée nulle sur Oy

Association Karaclown 2014 - Genève